2016诺贝尔物理学奖简介-京师物理
英文原载： Physics Today 69, 14 (2016)
原文作者： Sung Chang
译者：张力、郭文安
任何一名陶瓷工匠都知道：一个粘土球可以拉伸重塑成碗状，但是如果不切割，不穿孔或者黏附其他东西上去，不可能将其变成一个环的。拓扑学描述物体在连续变形下不会改变的特性，因此在拓扑语言里，球形和碗状是一样的，而圆环则属于另一个拓扑类型。有一则笑话讲到，拓扑学家是分不清多纳圈和咖啡杯的人（因为两者属于同一个拓扑类）。
在十九世纪七十年代初，J. Michael Kosterlitz和DavidThouless得到结论：在二维系统中剑斗九天，称为涡旋的拓扑缺陷可以驱动相变。但是这种相变并不像一般的相变那样伴随着系统对称性的变化，发生变化的是系统的拓扑性质[1]。
十年后，F. Duncan Haldane采用了J. Michael Kosterlitz和DavidThouless的想法，并将其应用到一维量子自旋链中，开创了一个新的内容丰富的研究方向[2]。与此同时，Thouless再次应用拓扑解释了二维电子系统霍尔电导精确得令人吃惊的量子化[3]。
三位理论物理学家将抽象的拓扑数学变成研究低维系统的核心工具，从而从根本上改变了凝聚态物理的景象。由于他们开创性的工作，2016年诺贝尔物理学奖的一半奖励给了Thouless,另一半由Haldane 和Kosterlitz共同获得。
一种新的相变
1970年，Kosterlitz以一个粒子物理学家的身份来到伯明翰大学作博士后。在完成了几项关于现在也许可以称作原始弦理论的计算之后，他发现这些工作都已经有竞争者做过，因此决定改变方向。在1971年开始与Thouless（当时在伯明翰大学任教授）一起工作。
Thouless在1969年访问贝尔实验室的时候，曾从Philip Anderson处了解到某些一维磁体系中的怪事：短程相互作用不能产生相变，而长程相互作用却可以，没有人知道为什么会有这样的区别。Thouless认识到：磁性缺陷的能量与熵的竞争造成了两者之间的主要区别。当Kosterlitz来找他寻求新的研究课题时，Thouless一直在思考怎样把类似的想法应用到液氦超流涡旋中，特别是二维情形。
在那个年代，大多数凝聚态物理学家认为相变意味着长程序的出现和对称性的变化。晶体按照特定角度旋转之后其外观保持不变，而流体可以以任意角度旋转保持不变。所有的自旋在磁有序相中指向一定的方向，而在磁无序相中则指向随机的方向。从无序相到有序相的相变被认为是由某种对称性的自发破缺造成的，这一过程可以由磁化强度或者其他“序参量”随温度、压强或其他热力学变量的演化来描述。
然而在1930年代，Rudolf Peierls有力地论证了，在二维材料中，原子的热运动会导致长程序无法形成。N. David Mermin和HerbertWagner利用相似的论点在1966年说明了一个二维各向同性海森堡磁系统（磁矩可以指向任意方向）不能达到有序。一年后，Franz Wegner说明了另一种二维磁性物质，xy模型（磁矩被限制在二维平面）也没有长程序。1967年Pierre Hohenberg说明了不存在二维超流和超导体[4]。
但是，随着理论图像似乎逐渐清晰统一，液氦薄膜超流相变令人费解的实验证据却开始出现。数值研究和其他的理论研究，包括Wegner自己的工作，都发现了二维原子或者磁系统中某种相变可能存在的迹象。
现在的问题是：如果二维系统不能有序并且没有对称破缺，那么如何发生相变？“Kosterlitz和Thouless给出了最关键的解释。”Wegner这样评价。远远超越了传统概念，Kosterlitz 和Thouless提出了一种新的他们称为拓扑的长程序，并猜想这种序可能存在于二维固体，中性超流，以及xy模型中[1]。
Kosterlitz和Thouless所提出的是二维系统中除存在传统的激发, 如晶体中的声子，xy磁体中的磁振子(magnons)，以及超流体的表面波之外，还存在拓扑激发，即涡旋。为了理解涡旋的拓扑本质，首先把一个二维的铁磁体想象为所有箭头指向相同的一种排列。如果有人沿着逆时针方向圆形路径走一圈，所经过的那些箭头的方向一致，这时我们称拓扑荷(topological charge)为零。
如图1a 所示, 一个涡旋是一种自旋排列方式：沿着饶涡旋中心的逆时针圆，其上的箭头后一个比前一个旋转一个角度，共旋转2π，或者一个绕数，这种情况，拓扑荷为1；对于一个反涡旋，如图1b所示，全部的旋转为-2π, 拓扑荷为-1.
如果有人使涡旋连续地变形——比如将每一个箭头旋转相同的角度——拓扑荷将仍为1，即不可能将涡旋连续地变为反涡旋，涡旋-反涡旋之间的转变必然是不连续的。然而，当涡旋和反涡旋配成对，其总拓扑荷抵消为零。因此，涡旋－反涡旋对可以连续地从有序态中形成，有序态的拓扑荷也为零。
图1: 涡旋构形. (a)在绕涡旋的逆时针圆形路径上，依次每一个自旋旋转一定角度而整个路途最后总的旋转角度为2π. (b) 沿类似的绕反涡旋的路径，总的旋转角度为-2π.
Kosterlitz和Thouless计算了形成一个涡旋或反涡旋所需要的能量，以及该涡旋或反涡旋的具有的熵，二者都依赖系统尺寸的对数。系统的自由能为F=E-TS, 其中E是系统能量，T是温度，S是熵。低温时，能量占主导地位，系统不会出现自由的涡旋或者反涡旋。然而，涡旋-反涡旋对的能量是两者距离的函数，低温时可以出现紧密束缚在一起的涡旋对。随着温度升高，系统激发出更多的涡旋对，正反涡旋间的距离也逐渐变大。在某个临界温度，熵开始占据主导地位，涡旋-反涡旋对解除束缚，成为游离的自由涡旋和反涡旋。系统经历了一个拓扑相变——后来被命名为Kosterlitz-Thouless(KT)相变，有时候也称为BKT相变，B代表VadimBerezinskii，李彩烨他于1970年在一个俄文杂志上发表了类似的观点。
从一开始，Kosterlitz和Thouless就知道他们的想法可以应用到二维固体、磁体以及液氦上的想法，然而他们最初的1972年文章着眼于二维固－流体相变，其中的涡旋是称为“位错”的点缺陷。因此，KT相变描述的是二维晶体的融化。二维晶体在统计力学中仍然是一个活跃的研究课题池宇峰 ，特别是在胶体系统中。芝加哥大学的 William Irvine认为在那些系统中KT相变“是我们知道的仅有的好的融化理论。”
此后不到一年，Kosterlitz 和Thouless接着发表了一篇更长的文章，详细地说明了他们的想法如何在xy模型以及超流液氦中实现秘踪拳。1977年，Kosterlitz和DavidNelson（他们相识于Kosterlitz在康奈尔大学做博士后时）预言，超流液氦中的KT相变表现为超流密度的跳变。这个预言很快被实验证实。到1970年代末，人们又发现KT 相变也适用于超导薄膜。
从经典二维到量子一维
1931年，Hans Bethe写出了一维自旋1/2链的严格解 (参见Murray Batchelor的文章, PHYSICS TODAY, January 2007, page 36)。这个解就是著名的Bethe ansatz，它给出了无能隙的自旋激发普：激发能在低波数时连续地趋于零卖报歌歌谱。由于ansatz解粗看起来类似于半经典的自旋波理论，因此物理学家们倾向于跳过复杂的数学直接写出解。虽然没有严格证明，八十年代早期人们的普遍看法是自旋大于1/2的情况并不会有什么区别。
图2：Haldane能隙. Duncan Haldane猜测一维自旋为1的自旋链的激发谱有能隙。三年后对准一维化合物CsNiCl3（可视为晶格常数为c的磁性链）的中子散射实验结果证实了这一预言。上图为链的激发谱，激发频率永远不降到零显著地表明了能隙的存在。蓝线为自旋波理论的拟合曲线（来自文献5）。
1981年，Duncan Haldane正在法国格勒诺布尔Laue－Langevin（劳厄－郎之万）研究所致力于Luttinger液体模型的研究，一种对一维电子系统的微扰处理。
他意识到，如果把一个空间维度看作时间，就可以将Kosterlitz和Thouless的经典统计力学想法应用到量子的一维自旋链。于是Kosterlitzi和Thouless所提出的涡旋就是不同的拓扑态之间隧穿事件了。
Haldane发现，从拓扑的观点来看，这种隧穿事件使得自旋场绕一维链的轴在时空中旋转正负2π，类似于二维平面中涡旋的效果。在量子力学的路径积分公式中，自旋1/2的情况下正负环绕相互抵消，Haldane证明这导致了无能隙激发。
在解出自旋1/2的情况之后，Haldane考虑了自旋为1的量子自旋链，并且发现上述正负抵消的情形并没有出现。“很明显，出现了能隙”，Haldane说。然而，“我可能没有在文章里说清楚。”他最初的1981年论文被拒稿了。
等到他想到更有说服力的论据来支持他的猜想时，Haldane说，许多最初的Kosterlitz和Thouless想法已经看不到了。在1983年他的两篇著名文章问世后[2],没过多长时间实验学家们就开始寻找Haldane能隙。1986年，William Buyers以及他在Chalk River Laboratories的同事在准一维系统CsNiCl3的自旋激发谱中测量到了清晰的能隙，如图2所示。Haldane评论道：“再没有什么能像实验验证那样让批评者闭嘴了”。
从实空间到动量空间
当给金属板加上垂直于电流I方向的磁场，洛伦兹力使得电荷朝垂直于电流和磁场的方向偏转。偏转的电荷累积起来产生一个电势差。Hall效应是以Edwin Hall命名的，他于1879年发现了这一现象，I/V称为Hall电导。
1980年，Klaus von Klitzing和他的同事发现，二维电子气体的Hall电导是量子化的，为e2/h的整数倍，其中e为电子电荷量，h为普朗克常数常数[6]。VonKlitzing也因此获得了1985年的诺贝尔物理学奖，量子化Hall电导的测量可以达到十亿分之一的精度，且跟样本本身的性质无关（如缺陷数）。(参见PHYSICSTODAY, December 1985, page 17.) 由于vonKlitzing常数RK=h/e2可以如此精确的测定，现在被用来定义国际单位制的电阻单位，不久还将被用来定义国际单位制的质量单位。(参见DavidNewell的文章, PHYSICS TODAY, July 2014, page 35.)
1982年Thouless在华盛顿大学工作，他和他的三个博士后Mahito Kohmoto, Peter Nightingale, 以及Marcelden Nijs利用拓扑的考量解释了Hall电导的量子化。
(参见Joseph Avron, Daniel Osadchy, and Ruedi Seiler的文章,PHYSICS TODAY, august 2003, page 38.)
“这里所说的‘拓扑’有一点抽象，我们不是在谈论像涡旋那样的某种实空间中的拓扑位型，”宾夕法尼亚大学的Charles Kane解释说上海一家人，“量子霍尔效应中的拓扑实际是量子态中的拓扑。”
得克萨斯大学奥斯汀分校的Allan MacDonald阐述道：Thouless和他的同事们指出了量子Hall效应中的整数实际上是能带结构的一个拓扑指标。本质上Hall电导的量子化跳跃是不同拓扑态之间的转变。
现在我们知道，就动量空间的拓扑效应而言，量子霍尔效应只不过是其冰山一角丞相如此多娇。例如拓扑绝缘材料，它的内部块体是绝缘的，但表面处于导电态，已经成为凝聚态物理中的一个主要话题。 (参见Xiao-LiangQi and Shou-Cheng Zhang的文章, PHYSICS TODAY, January 2010, page 33)。
Kane这样解释拓扑表面态：区分导体和绝缘体的特性在于它们电子的能带结构。绝缘体在其能带结构中有一个能隙，它把电子占据的价带和未占据的导带分开。金属能导电就是因为没有这一能隙。如果将一个拓扑绝缘体和一个普通绝缘体放在一起，你可以尝试在它们的界面处对两者的能带结构作光滑内插。“但是如果你这样做，在中间的某个地方，能隙一定会变成零，因为如果不变成零，就表示两者拓扑上是等价的”。结果就是边缘态一定是无能隙的导体( 参见NickRead的文章, PHYSICS TODAY, July 2012, page 38.)。
这样的态因为其本质上是拓扑的，微扰不能将其改变，很像量子霍尔态。“你可以弄脏它，可以逗弄它，但无论怎样改变，总有些东西不会变。”Kane说。因此，拓扑绝缘体已经被建议作为“鲁棒”量子计算的载体。
Von Klitzing说：“我想诺贝尔评审委员会是想让大家知道拓扑将会在物理学中起到越来越重要的作用，并且他们要追溯到拓扑这一想法产生的根源。” 确实，Wegner以及其他人还认为今年的诺贝尔奖不会是对拓扑物理研究成就的最后一次肯定。
获奖者介绍
David Thouless：1934年出生在苏格兰贝尔斯登，从剑桥大学本科毕业后，于1958年在康奈尔大学获得博士学位。在加利福尼亚大学伯克里大学做博士后之后，于1965年去到伯明翰大学. 在耶鲁大学短期工作之后他于1980年加入华盛顿大学，如今在那里身为荣誉教授。
Michael Kosterlitz：1943年生于苏格兰阿伯丁。他在剑桥大学获得学士以及硕士学位，之后转到牛津大学，并于1969年获博士学位。先后在意大利都灵理论物理研究所（为期一年）、伯明翰大学以及康奈尔大学担任博士后研究员，其后回到伯明翰大学担任讲师，之后成为高级讲师。1982年他来到布朗大学，现任布朗大学HarrisonE. Farnsworth物理学教授。
Duncan Haldane：1951年出生于伦敦，在剑桥大学获得学士学位并在1978年获得博士学位。曾在法国格勒诺布尔Laue-Langevin研究所，南加州大学，贝尔实验室，以及加州大学圣地亚哥分校工作。1990年来他到普林斯顿大学，现任
Eugene Higgins物理教授。
参考文献
[1] J. M. Kosterlitz, D. J. Thouless, J. Phys. C 5, L124(1972); 6, 1181 (1973).
[2] F. D. M. Haldane, Phys. Lett. A 93, 464 (1983); Phys.Rev. Lett. 50, 1153 (1983).
[3] D. J. Thouless et al., Phys. Rev. Lett. 49, 405(1982).
[4] N. D. Mermin, H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133(1966); F. Wegner, Z. Phys. 206, 465 (1967); P. C. Hohenberg, Phys. Rev. 158,383 (1967).
[5] W. J. L. Buyers et al., Phys. Rev. Lett. 56, 371(1986).
[6] K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett.45, 494 (1980).
[7] M. Z. Hasan, C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045(2010).
英文原载： Physics Today 69, 14 (2016)
原文作者： Sung Chang
译者：张力、郭文安
任何一名陶瓷工匠都知道：一个粘土球可以拉伸重塑成碗状，但是如果不切割，不穿孔或者黏附其他东西上去，不可能将其变成一个环的。拓扑学描述物体在连续变形下不会改变的特性，因此在拓扑语言里，球形和碗状是一样的，而圆环则属于另一个拓扑类型。有一则笑话讲到，拓扑学家是分不清多纳圈和咖啡杯的人（因为两者属于同一个拓扑类）。
在十九世纪七十年代初，J. Michael Kosterlitz和DavidThouless得到结论：在二维系统中剑斗九天，称为涡旋的拓扑缺陷可以驱动相变。但是这种相变并不像一般的相变那样伴随着系统对称性的变化，发生变化的是系统的拓扑性质[1]。
十年后，F. Duncan Haldane采用了J. Michael Kosterlitz和DavidThouless的想法，并将其应用到一维量子自旋链中，开创了一个新的内容丰富的研究方向[2]。与此同时，Thouless再次应用拓扑解释了二维电子系统霍尔电导精确得令人吃惊的量子化[3]。
三位理论物理学家将抽象的拓扑数学变成研究低维系统的核心工具，从而从根本上改变了凝聚态物理的景象。由于他们开创性的工作，2016年诺贝尔物理学奖的一半奖励给了Thouless,另一半由Haldane 和Kosterlitz共同获得。
一种新的相变
1970年，Kosterlitz以一个粒子物理学家的身份来到伯明翰大学作博士后。在完成了几项关于现在也许可以称作原始弦理论的计算之后，他发现这些工作都已经有竞争者做过，因此决定改变方向。在1971年开始与Thouless（当时在伯明翰大学任教授）一起工作。
Thouless在1969年访问贝尔实验室的时候，曾从Philip Anderson处了解到某些一维磁体系中的怪事：短程相互作用不能产生相变，而长程相互作用却可以，没有人知道为什么会有这样的区别。Thouless认识到：磁性缺陷的能量与熵的竞争造成了两者之间的主要区别。当Kosterlitz来找他寻求新的研究课题时，Thouless一直在思考怎样把类似的想法应用到液氦超流涡旋中，特别是二维情形。
在那个年代，大多数凝聚态物理学家认为相变意味着长程序的出现和对称性的变化。晶体按照特定角度旋转之后其外观保持不变，而流体可以以任意角度旋转保持不变。所有的自旋在磁有序相中指向一定的方向，而在磁无序相中则指向随机的方向。从无序相到有序相的相变被认为是由某种对称性的自发破缺造成的，这一过程可以由磁化强度或者其他“序参量”随温度、压强或其他热力学变量的演化来描述。
然而在1930年代，Rudolf Peierls有力地论证了，在二维材料中，原子的热运动会导致长程序无法形成。N. David Mermin和HerbertWagner利用相似的论点在1966年说明了一个二维各向同性海森堡磁系统（磁矩可以指向任意方向）不能达到有序。一年后，Franz Wegner说明了另一种二维磁性物质，xy模型（磁矩被限制在二维平面）也没有长程序。1967年Pierre Hohenberg说明了不存在二维超流和超导体[4]。
但是，随着理论图像似乎逐渐清晰统一，液氦薄膜超流相变令人费解的实验证据却开始出现。数值研究和其他的理论研究，包括Wegner自己的工作，都发现了二维原子或者磁系统中某种相变可能存在的迹象。
现在的问题是：如果二维系统不能有序并且没有对称破缺，那么如何发生相变？“Kosterlitz和Thouless给出了最关键的解释。”Wegner这样评价。远远超越了传统概念，Kosterlitz 和Thouless提出了一种新的他们称为拓扑的长程序，并猜想这种序可能存在于二维固体，中性超流，以及xy模型中[1]。
Kosterlitz和Thouless所提出的是二维系统中除存在传统的激发, 如晶体中的声子，xy磁体中的磁振子(magnons)，以及超流体的表面波之外，还存在拓扑激发，即涡旋。为了理解涡旋的拓扑本质，首先把一个二维的铁磁体想象为所有箭头指向相同的一种排列。如果有人沿着逆时针方向圆形路径走一圈，所经过的那些箭头的方向一致，这时我们称拓扑荷(topological charge)为零。
如图1a 所示, 一个涡旋是一种自旋排列方式：沿着饶涡旋中心的逆时针圆，其上的箭头后一个比前一个旋转一个角度，共旋转2π，或者一个绕数，这种情况，拓扑荷为1；对于一个反涡旋，如图1b所示，全部的旋转为-2π, 拓扑荷为-1.
如果有人使涡旋连续地变形——比如将每一个箭头旋转相同的角度——拓扑荷将仍为1，即不可能将涡旋连续地变为反涡旋，涡旋-反涡旋之间的转变必然是不连续的。然而，当涡旋和反涡旋配成对，其总拓扑荷抵消为零。因此，涡旋－反涡旋对可以连续地从有序态中形成，有序态的拓扑荷也为零。
图1: 涡旋构形. (a)在绕涡旋的逆时针圆形路径上，依次每一个自旋旋转一定角度而整个路途最后总的旋转角度为2π. (b) 沿类似的绕反涡旋的路径，总的旋转角度为-2π.
Kosterlitz和Thouless计算了形成一个涡旋或反涡旋所需要的能量，以及该涡旋或反涡旋的具有的熵，二者都依赖系统尺寸的对数。系统的自由能为F=E-TS, 其中E是系统能量，T是温度，S是熵。低温时，能量占主导地位，系统不会出现自由的涡旋或者反涡旋。然而，涡旋-反涡旋对的能量是两者距离的函数，低温时可以出现紧密束缚在一起的涡旋对。随着温度升高，系统激发出更多的涡旋对，正反涡旋间的距离也逐渐变大。在某个临界温度，熵开始占据主导地位，涡旋-反涡旋对解除束缚，成为游离的自由涡旋和反涡旋。系统经历了一个拓扑相变——后来被命名为Kosterlitz-Thouless(KT)相变，有时候也称为BKT相变，B代表VadimBerezinskii，李彩烨他于1970年在一个俄文杂志上发表了类似的观点。
从一开始，Kosterlitz和Thouless就知道他们的想法可以应用到二维固体、磁体以及液氦上的想法，然而他们最初的1972年文章着眼于二维固－流体相变，其中的涡旋是称为“位错”的点缺陷。因此，KT相变描述的是二维晶体的融化。二维晶体在统计力学中仍然是一个活跃的研究课题池宇峰 ，特别是在胶体系统中。芝加哥大学的 William Irvine认为在那些系统中KT相变“是我们知道的仅有的好的融化理论。”
此后不到一年，Kosterlitz 和Thouless接着发表了一篇更长的文章，详细地说明了他们的想法如何在xy模型以及超流液氦中实现秘踪拳。1977年，Kosterlitz和DavidNelson（他们相识于Kosterlitz在康奈尔大学做博士后时）预言，超流液氦中的KT相变表现为超流密度的跳变。这个预言很快被实验证实。到1970年代末，人们又发现KT 相变也适用于超导薄膜。
从经典二维到量子一维
1931年，Hans Bethe写出了一维自旋1/2链的严格解 (参见Murray Batchelor的文章, PHYSICS TODAY, January 2007, page 36)。这个解就是著名的Bethe ansatz，它给出了无能隙的自旋激发普：激发能在低波数时连续地趋于零卖报歌歌谱。由于ansatz解粗看起来类似于半经典的自旋波理论，因此物理学家们倾向于跳过复杂的数学直接写出解。虽然没有严格证明，八十年代早期人们的普遍看法是自旋大于1/2的情况并不会有什么区别。
图2：Haldane能隙. Duncan Haldane猜测一维自旋为1的自旋链的激发谱有能隙。三年后对准一维化合物CsNiCl3（可视为晶格常数为c的磁性链）的中子散射实验结果证实了这一预言。上图为链的激发谱，激发频率永远不降到零显著地表明了能隙的存在。蓝线为自旋波理论的拟合曲线（来自文献5）。
1981年，Duncan Haldane正在法国格勒诺布尔Laue－Langevin（劳厄－郎之万）研究所致力于Luttinger液体模型的研究，一种对一维电子系统的微扰处理。
他意识到，如果把一个空间维度看作时间，就可以将Kosterlitz和Thouless的经典统计力学想法应用到量子的一维自旋链。于是Kosterlitzi和Thouless所提出的涡旋就是不同的拓扑态之间隧穿事件了。
Haldane发现，从拓扑的观点来看，这种隧穿事件使得自旋场绕一维链的轴在时空中旋转正负2π，类似于二维平面中涡旋的效果。在量子力学的路径积分公式中，自旋1/2的情况下正负环绕相互抵消，Haldane证明这导致了无能隙激发。
在解出自旋1/2的情况之后，Haldane考虑了自旋为1的量子自旋链，并且发现上述正负抵消的情形并没有出现。“很明显，出现了能隙”，Haldane说。然而，“我可能没有在文章里说清楚。”他最初的1981年论文被拒稿了。
等到他想到更有说服力的论据来支持他的猜想时，Haldane说，许多最初的Kosterlitz和Thouless想法已经看不到了。在1983年他的两篇著名文章问世后[2],没过多长时间实验学家们就开始寻找Haldane能隙。1986年，William Buyers以及他在Chalk River Laboratories的同事在准一维系统CsNiCl3的自旋激发谱中测量到了清晰的能隙，如图2所示。Haldane评论道：“再没有什么能像实验验证那样让批评者闭嘴了”。
从实空间到动量空间
当给金属板加上垂直于电流I方向的磁场，洛伦兹力使得电荷朝垂直于电流和磁场的方向偏转。偏转的电荷累积起来产生一个电势差。Hall效应是以Edwin Hall命名的，他于1879年发现了这一现象，I/V称为Hall电导。
1980年，Klaus von Klitzing和他的同事发现，二维电子气体的Hall电导是量子化的，为e2/h的整数倍，其中e为电子电荷量，h为普朗克常数常数[6]。VonKlitzing也因此获得了1985年的诺贝尔物理学奖，量子化Hall电导的测量可以达到十亿分之一的精度，且跟样本本身的性质无关（如缺陷数）。(参见PHYSICSTODAY, December 1985, page 17.) 由于vonKlitzing常数RK=h/e2可以如此精确的测定，现在被用来定义国际单位制的电阻单位，不久还将被用来定义国际单位制的质量单位。(参见DavidNewell的文章, PHYSICS TODAY, July 2014, page 35.)
1982年Thouless在华盛顿大学工作，他和他的三个博士后Mahito Kohmoto, Peter Nightingale, 以及Marcelden Nijs利用拓扑的考量解释了Hall电导的量子化。
(参见Joseph Avron, Daniel Osadchy, and Ruedi Seiler的文章,PHYSICS TODAY, august 2003, page 38.)
“这里所说的‘拓扑’有一点抽象，我们不是在谈论像涡旋那样的某种实空间中的拓扑位型，”宾夕法尼亚大学的Charles Kane解释说上海一家人，“量子霍尔效应中的拓扑实际是量子态中的拓扑。”
得克萨斯大学奥斯汀分校的Allan MacDonald阐述道：Thouless和他的同事们指出了量子Hall效应中的整数实际上是能带结构的一个拓扑指标。本质上Hall电导的量子化跳跃是不同拓扑态之间的转变。
现在我们知道，就动量空间的拓扑效应而言，量子霍尔效应只不过是其冰山一角丞相如此多娇。例如拓扑绝缘材料，它的内部块体是绝缘的，但表面处于导电态，已经成为凝聚态物理中的一个主要话题。 (参见Xiao-LiangQi and Shou-Cheng Zhang的文章, PHYSICS TODAY, January 2010, page 33)。
Kane这样解释拓扑表面态：区分导体和绝缘体的特性在于它们电子的能带结构。绝缘体在其能带结构中有一个能隙，它把电子占据的价带和未占据的导带分开。金属能导电就是因为没有这一能隙。如果将一个拓扑绝缘体和一个普通绝缘体放在一起，你可以尝试在它们的界面处对两者的能带结构作光滑内插。“但是如果你这样做，在中间的某个地方，能隙一定会变成零，因为如果不变成零，就表示两者拓扑上是等价的”。结果就是边缘态一定是无能隙的导体( 参见NickRead的文章, PHYSICS TODAY, July 2012, page 38.)。
这样的态因为其本质上是拓扑的，微扰不能将其改变，很像量子霍尔态。“你可以弄脏它，可以逗弄它，但无论怎样改变，总有些东西不会变。”Kane说。因此，拓扑绝缘体已经被建议作为“鲁棒”量子计算的载体。
Von Klitzing说：“我想诺贝尔评审委员会是想让大家知道拓扑将会在物理学中起到越来越重要的作用，并且他们要追溯到拓扑这一想法产生的根源。” 确实，Wegner以及其他人还认为今年的诺贝尔奖不会是对拓扑物理研究成就的最后一次肯定。
获奖者介绍
David Thouless：1934年出生在苏格兰贝尔斯登，从剑桥大学本科毕业后，于1958年在康奈尔大学获得博士学位。在加利福尼亚大学伯克里大学做博士后之后，于1965年去到伯明翰大学. 在耶鲁大学短期工作之后他于1980年加入华盛顿大学，如今在那里身为荣誉教授。
Michael Kosterlitz：1943年生于苏格兰阿伯丁。他在剑桥大学获得学士以及硕士学位，之后转到牛津大学，并于1969年获博士学位。先后在意大利都灵理论物理研究所（为期一年）、伯明翰大学以及康奈尔大学担任博士后研究员，其后回到伯明翰大学担任讲师，之后成为高级讲师。1982年他来到布朗大学，现任布朗大学HarrisonE. Farnsworth物理学教授。
Duncan Haldane：1951年出生于伦敦，在剑桥大学获得学士学位并在1978年获得博士学位。曾在法国格勒诺布尔Laue-Langevin研究所，南加州大学，贝尔实验室，以及加州大学圣地亚哥分校工作。1990年来他到普林斯顿大学，现任
Eugene Higgins物理教授。
参考文献
[1] J. M. Kosterlitz, D. J. Thouless, J. Phys. C 5, L124(1972); 6, 1181 (1973).
[2] F. D. M. Haldane, Phys. Lett. A 93, 464 (1983); Phys.Rev. Lett. 50, 1153 (1983).
[3] D. J. Thouless et al., Phys. Rev. Lett. 49, 405(1982).
[4] N. D. Mermin, H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133(1966); F. Wegner, Z. Phys. 206, 465 (1967); P. C. Hohenberg, Phys. Rev. 158,383 (1967).
[5] W. J. L. Buyers et al., Phys. Rev. Lett. 56, 371(1986).
[6] K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett.45, 494 (1980).
[7] M. Z. Hasan, C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045(2010).